Главная

Добро пожаловать на веб-страницу курса Теория вероятностей в НИУ ВШЭ, 2025/26.

Программа

  1. Вероятностное пространство. Примеры. Свойства вероятности. Непрерывность вероятности.
  2. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Теорема Байеса.
  3. Независимость событий: попарная и в совокупности. Вероятностная модель для независимых испытаний.
  4. Леммы Бореля-Кантелли.
  5. Случайные величины и их распределения. Типы распределений: дискретные, абсолютно непрерывные и непрерывные сингулярные. Разложение распределения на дискретную, непрерывную сингулярную и абсолютно непрерывную компоненты (б/д). Плотность распределения. Плотность распределения компоненты вектора при известной плотности совместного распределения.
  6. Функции распределения и их свойства. Функция распределения дискретной случайной величины. Связь функции распределения и плотности абсолютно непрерывной случайной величины. Функция распределения случайного вектора.
  7. Независимость случайных величин. Совместные распределение, плотность и функция распределения независимых случайных величин. Плотность суммы независимых абсолютно непрерывных случайных величин. Построение независимых случайных величин.
  8. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Представление матожидания через интеграл по распределению. Частные случаи: дискретная и абсолютно непрерывная случайная величины. Матожидание произведения независимых случайных величин.
  9. Другие характеристики случайных величин и их свойства: дисперсия, высшие моменты, ковариация, коэффициент корреляции. Медиана, квантили.
  10. Производящая функция целочисленной неотрицательной случайной величины. Выражение математического ожидания и дисперсии через производящую функцию. Производящая функция суммы независимых случайных величин. Ситуация, когда число слагаемых случайно.
  11. Важнейшие дискретные распределения: Бернулли; биномиальное, связь с Бернулли; Пуассона, теорема Пуассона; геометрическое.
  12. Важнейшие непрерывные распределения: равномерное, гауссовское, показательное, Коши.
  13. Неравенства: Коши-Буняковского, Йенсена, Маркова, Чебышёва, Хёфдинга (случай iid, б/д).
  14. Закон больших чисел в форме Чебышёва. Метод Монте-Карло. Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами.
  15. Типы сходимостей случайных величин и их связи: почти наверное, в L^p, по вероятности, по распределению. Доказательства требуются только для тех импликаций, которые были доказаны в конспекте. Доказательство того, что после подходящей “перестройки” случайных величин сходимость по распределению влечет сходимость почти наверное, требуется только в случае, когда функции распределения непрерывны и строго монотонны.
  16. Слабая сходимость мер и сходимость случайных величин по распределению. Теорема портманто (б/д). Теорема Прохорова (б/д). Связь сходимости по распределению со сходимостью функций распределения.
  17. Характеристические функции и их свойства. Теорема обращения. Характеристическая функция вектора. Связь с независимостью.
  18. Связь сходимости по распределению с характеристическими функциями.
  19. Закон больших чисел в форме Хинчина и центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин. Усиленный закон больших чисел: формулировка.
  20. Многомерное нормальное распределение. Три определения и их эквивалентность. Плотность в невырожденном случае. Связь некоррелированности и независимости для компонент многомерных гауссовских векторов.
  21. Условные мат. ожидания и вероятности относительно сигма-алгебр. Теорема существования. Условные мат. ожидания и вероятности относительно сигма-алгебры, порожденной случайной величиной. Условная плотность распределения \rho_{\xi|\eta} в случае, когда случайный вектор (\xi,\eta) абсолютно непрерывен.

Содержание

На этом сайте вы найдете:

  • Библиография к курсу, включая конспекты лекций.
  • Упражнения, включая листы с решения задач, контрольные работы и экзаменационные листы, и многое другое.
  • Оценочные баллы за промежуточные контрольные работы и итоговые экзамены (обновляются во время курса).
  • Дополнительные темы для заинтересованных студентов. Включая загружаемый интерактивный контент.

Устранение неполадок

Если у вас возникли проблемы, вы можете скачать весь контент в формате PDF, хотя интерактивный контент в этом случае будет недоступен.