Главная

Добро пожаловать на веб-страницу курса Теория вероятностей в НИУ ВШЭ, 2025/26.

Программа

  1. Вероятностное пространство. Примеры. Свойства вероятности. Непрерывность вероятности.
  2. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Теорема Байеса.
  3. Независимость событий: попарная и в совокупности. Вероятностная модель для независимых испытаний.
  4. Леммы Бореля-Кантелли.
  5. Случайные величины и их распределения. Типы распределений: дискретные, абсолютно непрерывные и непрерывные сингулярные. Разложение распределения на дискретную, непрерывную сингулярную и абсолютно непрерывную компоненты (б/д). Плотность распределения. Плотность распределения компоненты вектора при известной плотности совместного распределения.
  6. Функции распределения и их свойства. Функция распределения дискретной случайной величины. Связь функции распределения и плотности абсолютно непрерывной случайной величины. Функция распределения случайного вектора.
  7. Независимость случайных величин. Совместные распределение, плотность и функция распределения независимых случайных величин. Плотность суммы независимых абсолютно непрерывных случайных величин. Построение независимых случайных величин.
  8. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Представление матожидания через интеграл по распределению. Частные случаи: дискретная и абсолютно непрерывная случайная величины. Матожидание произведения независимых случайных величин.
  9. Другие характеристики случайных величин и их свойства: дисперсия, высшие моменты, ковариация, коэффициент корреляции. Медиана, квантили.
  10. Производящая функция целочисленной неотрицательной случайной величины. Выражение математического ожидания и дисперсии через производящую функцию. Производящая функция суммы независимых случайных величин. Ситуация, когда число слагаемых случайно.
  11. Важнейшие дискретные распределения: Бернулли; биномиальное, связь с Бернулли; Пуассона, теорема Пуассона; геометрическое.
  12. Важнейшие непрерывные распределения: равномерное, гауссовское, показательное, Коши.
  13. Неравенства: Коши-Буняковского, Йенсена, Маркова, Чебышёва, Хёфдинга (случай iid, б/д).
  14. Закон больших чисел в форме Чебышёва. Метод Монте-Карло. Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами.
  15. Типы сходимостей случайных величин и их связи: почти наверное, в \(L^p\), по вероятности, по распределению. Доказательства требуются только для тех импликаций, которые были доказаны в конспекте. Доказательство того, что после подходящей “перестройки” случайных величин сходимость по распределению влечет сходимость почти наверное, требуется только в случае, когда функции распределения непрерывны и строго монотонны.
  16. Слабая сходимость мер и сходимость случайных величин по распределению. Теорема портманто (б/д). Теорема Прохорова (б/д). Связь сходимости по распределению со сходимостью функций распределения.
  17. Характеристические функции и их свойства. Теорема обращения. Характеристическая функция вектора. Связь с независимостью.
  18. Связь сходимости по распределению с характеристическими функциями.
  19. Закон больших чисел в форме Хинчина и центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин. Усиленный закон больших чисел: формулировка.
  20. Многомерное нормальное распределение. Три определения и их эквивалентность. Плотность в невырожденном случае. Связь некоррелированности и независимости для компонент многомерных гауссовских векторов.
  21. Условные мат. ожидания и вероятности относительно сигма-алгебр. Теорема существования. Условные мат. ожидания и вероятности относительно сигма-алгебры, порожденной случайной величиной. Условная плотность распределения \(\rho_{\xi|\eta}\) в случае, когда случайный вектор \((\xi,\eta)\) абсолютно непрерывен.

Библиография

  • Конспект лекции. Ваш основной источник информации по теории вероятностей.
  • Синай Я.Г., Коралов Л.Б., Теория вероятностей и случайные процессы, МЦНМО 2013. [EN|RU]. Превосходная книга, в которую включены некоторые результаты занятий.
  • R.Durret, Probability: Theory and Examples, доступно в Интернете. EN. Книга, полная примеров.
  • Коршунов Д.А., Фосс С.Г., Сборник Задач И Упражнений По Теории Вероятностей, доступно онлайн. RU. Упражнения по русскому языку.

Задачи

Листы задач с решениями (публикуются после занятий):

Дополнительный избранные темы

Это дополнительные темы для заинтересованных студентов. Некоторые результаты подробно объяснены, другие оставлены в качестве упражнений или требуют внимания для полного понимания. Это сделано намеренно, поскольку примеры призваны стимулировать ваш интерес. Не стесняйтесь обращаться за помощью или за подробностями.

Навигация по сайту

Если у вас возникли проблемы с HTML-версией сайта, вы можете скачать PDF-версию (ссылка на боковой панели) каждой страницы, содержащей раздел «Математика». В правом верхнем углу находится функция поиска по кодам математических символов (в латексе), а также кнопка переключения тем. Скорость воспроизведения и загрузки видео оптимизирована для относительно новых браузеров (>2022). Некоторые страницы содержат интерактивные элементы shinylive, загрузка которых может занять некоторое время (если вы очистили историю браузера с момента последнего просмотра страницы shinylive).