Семинар 2

Задача 1

  1. Верно ли равенство \mathbb{P}(B|A) + \mathbb{P}(C|A) = \mathbb{P}(B\cup C|A)?
  2. Привести примеры, показывающие, что следующие равенства, вообще говоря, неверны:
    1. \mathbb{P}(A|B \cup C) = \mathbb{P}(A|B) + \mathbb{P}(A|C)
    2. \mathbb{P}(B |A) + \mathbb{P}(B |\overline A) = 1

Задача 2

Пусть имеется вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) и события H_1, H_2\in\mathcal{F} имеют положительные вероятности. Обозначим \mathbb{P}_{H_i}:=\mathbb{P}(\cdot|H_i), i=1,2. Докажите, что \mathbb{P}_{H_1}(\cdot|H_2) = \mathbb{P}(\cdot|H_1\cap H_2) = \mathbb{P}_{H_2}(\cdot| H_1). То есть, для любого A\in\mathcal{F}, \mathbb{P}_{H_1}(A|H_2) = \mathbb{P}(A|H_1\cap H_2) = \mathbb{P}_{H_2}(A| H_1).

Задача 3

Колоду из 52 карт раздают на 4 игроков. Один из игрока объявляет, что у него есть туз.

  1. Какова вероятность, что у него есть еще хотя бы один туз?
  2. Какова вероятность, что у него есть еще хотя бы один туз, если он объявил, что у него есть туз пик?

Сперва решите эту задачу напрямую, не используя понятие условной вероятности (переопределяя множество элементарных исходов), а затем по определению условной вероятности.

Задача 4

Из множества \{1, 2, . . . , n\} без возвращения по очереди выбирают три различных числа. Найдите условную вероятность того, что третье число лежит между первым и вторым, при условии, что первое число меньше второго.

Задача 5

(а) В мешке лежали один шар белого и один шар чёрного цвета. Из него извлекли один шар и положили в пустой ящик. Также в ящик положили ещё один белый шар. Наконец, из ящика извлекли один шар, он оказался белым. Какова вероятность того, что оставшийся в~ящике шар тоже белый?

(б) Решите предыдущую задачу в предположении, что исходно в мешке было 10 черных и 7 белых шаров.

Задача 6

(Урновая схема Пойа) В урне находятся a белых и b черных шаров. Выполняем n случайных извлечений и сразу после каждого извлечения шар возвращается в урну вместе с m других шарами того же цвета. (m\ge -1 и n\le a+ b если m=-1).

  1. Какова вероятность, что из n=n_1+n_2 выбранных шаров белых шаров будет n_1, а черных n_2?
  2. Докажите, что вероятность извлечь на i-м шаге белый шар равна a/(a+b).

Задача 7

(Парадокс Монти Холла). Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор? Уточнения: автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей; ведущий знает, где находится автомобиль; вне зависимости от того какую вы выбрали дверь, ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую вы выбрали) и предложить изменить выбор; если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть (то есть, вы указали на верную дверь, и за обеими оставшимися дверями — козы), он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

Задача 8

Ковид снова в моде! Но и британские учёные не спят: разработан новый тест, имеющий чувствительность 99% (т.е. верно диагностирует больного в 99% случаев) и специфичность 99% (лишь 1% здоровых людей объявляет больными). Известно, что в одной счастливой деревне ковидом страдает 1 человек из ее 1000 жителей. Какова вероятность того, что житель этой деревни, объявленный больным по результатам теста, действительно болен?

Задача 9

Агент Д. следит за передвижениями директора некоторой компании. Известно, что директор бывает в офисе с вероятностью 60\%, а на даче с вероятностью 40\%. У агента Д. есть два осведомителя, причем первый ошибается с вероятностью 20\%, а второй - с вероятностью 10\%. Первый осведомитель утверждает, что директор компании в офисе, а второй осведомитель утверждает, что он на даче. Где директор?

Избранные Задачи

Задача 10

Пусть n \ge 2. Случайным образом выбираем из \{1, 2,\ldots,n\} одно число. Событие A — выбранное число делится на 2, событие B — выбранное число делится на 7. Найдите все n такие, что события A и B независимы.

Задача 11

События A, B, C попарно независимы и равновероятны, A\cap B \cap C =\emptyset. Найдите максимально возможное значение P(A).

Задача 12

Придумайте пример трех событий A, B, C, независимых попарно, но не в совокупности.