Семинар 5

\[\newcommand{\st}{\, : \:} \newcommand{\ind}[1]{\mathbf{1}_{#1}} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}}\]

Задача 1

Пусть \(\alpha \sim \mathrm{Uniform}[0,1]\). Найдите следующие функции:

  1. Функцию плотности \(p_\beta(x)\), если случайная величина \(\beta\) такова, что \(\beta=3\alpha-1\).
  2. Функцию плотности \(p_\gamma(x)\), если случайная величина \(\gamma\) такова, что \(\gamma=-\ln(\alpha)\).
  3. Функцию плотности \(p_\kappa(x)\), если случайная величина \(\kappa\) такова, что
    \[ \kappa= \begin{cases} 1+\alpha+\alpha^2+\ldots &\alpha \in(0,1) \\ 0 &\alpha\not\in(0,1) \end{cases} \]
  4. Функцию плотности \(p_\epsilon(x)\), если
    \[ \epsilon= \begin{cases} \sum_{j=0}^\infty(-1)^j\alpha^j & \alpha \in(0,1) \\ 0 & \alpha\not\in(0,1) \end{cases} \]
  5. Функцию распределения \(F_\rho(x)\), если случайная величина \(\rho\) такова, что
    \[ \rho= \begin{cases} 1 &\text{если $\alpha$ иррациональное} \\ 0 &\text{если $\alpha$ рациональное} \end{cases} \]

Плотность \(\alpha\) равна \(p_\alpha(t)=\mathbf{1}_{[0,1)}(t)\).

  1. \(\beta = 3\alpha-1\). Это линейное преобразование. \(\alpha = (\beta+1)/3\). Область значений \(\beta\) — \([-1,2]\). \(p_\beta(x)=p_\alpha\!\left(\frac{x+1}{3}\right)\left|\frac{d\alpha}{d\beta}\right|=1\cdot\frac13=\frac13\) на \([-1,2]\). Таким образом, \(\beta\sim\mathrm{Uniform}([-1,2])\). Вообще, аффинное преобразование равномерной случайной величины снова равномерно (на интервале, заданном тем же аффинным преобразованием).

  2. \(\gamma=-\ln(\alpha)\), \(\alpha=e^{-\gamma}\). Область значений \(\gamma\) — \([0,\infty)\). \(p_\gamma(x)=p_\alpha(e^{-x})\left|\frac{d\alpha}{d\gamma}\right|=1\cdot|{-e^{-x}}|=e^{-x}\) на \([0,\infty)\). То есть \(\gamma\sim\exp(1)\).

  3. \(\kappa=\frac{1}{1-\alpha}\) при \(\alpha\in(0,1)\). \(\alpha=1-1/\kappa\). Область значений \(\kappa\) — \((1,\infty)\). \(p_\kappa(x)=p_\alpha(1-1/x)\bigl|1/x^2\bigr|=1/x^2\) на \((1,\infty)\).

  4. \(\epsilon=\frac{1}{1+\alpha}\) при \(\alpha\in(0,1)\), \(\alpha=1/\epsilon-1\). Область значений \(\epsilon\) — \((1/2,1)\). \(p_\epsilon(x)=p_\alpha(1/x-1)\bigl|{-1/x^2}\bigr|=1/x^2\) на \((1/2,1)\).

  5. \(\rho=1\) п.н., поэтому \(F_\rho(x)=\mathbf{1}_{[1,\infty)}(x)\).

Задача 2

Случайная величина \(\alpha\) равномерна на отрезке \([-1,3]\), найти плотность для \(-|\alpha|\).

Если визуализировать графически, \(-|\alpha|\) отображает плотность в точках \(x>0\) в ту же плотность в точках \(-x\). Плотность \(-|\alpha|\) равна \(\tfrac14\mathbf{1}_{[-3,-1)}+\tfrac12\mathbf{1}_{[-1,0)}\). Можно также решить аналитически: для \(y<0\) \[ f_{-|\alpha|}(y)=\frac{d}{dy}\mathbb{P}(-|\alpha|\le y)=\frac{d}{dy}\mathbb{P}(\alpha\ge -y)+\frac{d}{dy}\mathbb{P}(\alpha\le y)=\tfrac14\mathbf{1}_{[-3,-1)}(y)+\tfrac12\mathbf{1}_{[-1,0)}(y). \]

Задача 3

Случайная величина \(\alpha\) равномерна на отрезке \([-1,3]\), найти функцию распределения для \(\frac{|\alpha|}{\alpha}\).

Так как \(\mathbb{P}(\alpha=0)=0\), величина \(\frac{|\alpha|}{\alpha}\) является знаком \(\alpha\). Она принимает значение \(-1\) с вероятностью \(1/4\) и \(+1\) с вероятностью \(3/4\). Функция распределения равна \(\tfrac14\mathbf{1}_{[-1,1)}+\mathbf{1}_{[1,\infty)}\).

Задача 4

Случайная величина \(\alpha\) равномерна на отрезке \([-1,1]\), независимая с \(\alpha\) случайная величина \(\beta\) — бернуллиевская с параметром \(p=\frac13\).

  1. Найти функцию распределения случайной величины \(\alpha\beta\).
  2. Найти функцию распределения случайной величины \(|\alpha|\beta\).
  3. Найти функцию распределения случайной величины \(|2\alpha-1|\beta\).

  1. \(F_{\alpha\beta}(x)=\frac{x+1}{6}\mathbf{1}_{[-1,0)}(x)+\frac{x+5}{6}\mathbf{1}_{[0,1)}(x)+\mathbf{1}_{[1,\infty)}(x)\).

  2. \(F_{|\alpha|\beta}(x)=\frac{x+2}{3}\mathbf{1}_{[0,1)}(x)+\mathbf{1}_{[1,\infty)}\).

  3. \(F_{|2\alpha-1|\beta}(x)=\frac{4+x}{6}\mathbf{1}_{[0,1)}(x)+\frac{9+x}{12}\mathbf{1}_{[1,3)}(x)+\mathbf{1}_{[3,\infty)}(x)\).

Задача 5

Случайная величина \(\alpha\) равномерна на отрезке \([0,1]\), случайная величина \(\beta\) независима с \(\alpha\).

  1. Найти функцию плотности распределения случайной величины \(2\alpha-\beta\), если \(\beta\) распределена по показательному закону с параметром \(1\).
  2. Найти функцию распределения случайной величины \(\alpha+\beta\), если \(\beta\) дискретна и распределена по пуассоновскому закону с параметром \(\lambda\).
  3. Найти функцию распределения случайной величины \(\alpha+2\beta\), если \(\beta\) – геометрическая случайная величина с параметром \(p\).

  1. Пусть \(\xi=2\alpha-\beta\). Плотность \(2\alpha\) равна \(f_{2\alpha}(x)=\tfrac12\mathbf{1}_{[0,2)}\). Плотность \(-\beta\) равна \(f_{-\beta}(x)=e^x\mathbf{1}_{(-\infty,0)}\). Плотность суммы \(\xi\) является свёрткой: \[ f_\xi(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{2\alpha}(x)f_{-\beta}(y-x)\,dx = \frac{\mathbf{1}_{(-\infty,2)}(y)}{2}\int_{\max(0,y)}^2 e^{y-x}\,dx = \begin{cases} \frac{e^y(1-e^{-2})}{2} & \text{если $y<0$},\\[4pt] \frac{1-e^{y-2}}{2} & \text{если $y\in[0,2)$},\\[4pt] 0 & \text{если $y\ge 2$}. \end{cases} \]

  2. Пусть \(\eta=\alpha+\beta\), тогда \[ F_\eta(x) = \sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(\eta\le x\mid\beta=k)\mathbb{P}(\beta=k) = \sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(\alpha\le x-k)\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor-1}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} + (x-\lfloor x\rfloor)\frac{e^{-\lambda}\lambda^{\lfloor x\rfloor}}{\lfloor x\rfloor!}. \]

  3. Пусть \(\zeta=\alpha+2\beta\). \(\mathbb{P}(\beta=k)=(1-p)^k p\) при \(k=0,1,\dots\). Поэтому \(F_\zeta(x) = \sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(\alpha\le x-2k)(1-p)^k p\). Аналогично пункту b, \(F_\zeta\) кусочно-аффинна, интерполируя значения \(F_{2\beta}(x)\) в чётных целых точках \(x=2k\).

Задача 6$

Случайная величина \(\gamma\) распределена по показательному закону с параметром \(a\), случайная величина \(\theta\) также распределена по показательному закону с параметром \(b\), при этом \(\gamma\), \(\theta\) независимы.

  1. Найти функцию плотности с.в. \(\sqrt{\gamma}\).
  2. Найти функцию плотности с.в. \(\gamma^2\).
  3. Найти функцию плотности с.в. \(1-e^{-a\gamma}\).
  4. Найти функцию плотности с.в. \(\max(\gamma,\theta)\).
  5. Найти функцию плотности с.в. \(\min(\gamma,\theta)\).
  6. Найти функцию плотности с.в. \(\gamma+\theta\).

  1. \(F(y)=\mathbb{P}(\gamma\le y^2)=1-e^{-ay^2}\) при \(y\ge0\). \(p(y)=2aye^{-ay^2}\).

  2. \(F(y)=\mathbb{P}(\gamma\le\sqrt{y})=1-e^{-a\sqrt{y}}\) при \(y\ge0\). \(p(y)=\frac{a}{2\sqrt{y}}e^{-a\sqrt{y}}\).

  3. \(\zeta=1-e^{-a\gamma}=F_\gamma(\gamma)\). Как известно, это преобразование даёт \(\mathrm{Uniform}([0,1])\) для любой непрерывной случайной величины \(\gamma\).

  4. \(F_{\max}(x)=F_\gamma(x)F_\theta(x)=1-e^{-ax}-e^{-bx}+e^{-(a+b)x}\). \(p_{\max}(x)=ae^{-ax}+be^{-bx}-(a+b)e^{-(a+b)x}\) при \(x\ge0\).

  5. \(F_{\min}(x)=1-(1-F_\gamma(x))(1-F_\theta(x))=1-e^{-(a+b)x}\). То есть минимум подчинён показательному распределению с параметром \(a+b\).

  6. Если \(a\neq b\), \(p_{\gamma+\theta}(y)=\frac{ab}{b-a}(e^{-ay}-e^{-by})\). Если \(a=b\), \(p_{\gamma+\theta}(y)=a^2 ye^{-ay}\).

Задача 7*$

Пусть \(X_1,X_2,\ldots\) — независимые случайные величины, с одинаковым распределением \(\mathrm{exp}(\lambda)\). Пусть \(Y_n:=\sum_{i=1}^n X_i\) и \(N_t:=\inf\{n\ge0\,:\,Y_{n+1}>t\}\), \(t>0\).

  1. Докажите, что распределение \(Y\) имеет плотность \(\rho_n(y):=e^{-\lambda y}\frac{\lambda^n y^{n-1}}{(n-1)!}\mathbf{1}_{y\ge0}\).

  2. Докажите, что \(\mathbb{P}(N_t=k)=e^{-\lambda t}(\lambda t)^k/k!\) (это означает, что \(N_t\sim\mathrm{Poisson}(\lambda t)\)).

  1. Докажем индукцией.
    • Для \(n=1\), \(Y_1=X_1\), поэтому \(\rho_1(y)=\lambda e^{-\lambda y}\).
    • Предположим формула верна для \(n\). \(Y_{n+1}=Y_n+X_{n+1}\) — сумма независимых случайных величин, и плотность \(Y_{n+1}\) является свёрткой их плотностей: \[ \begin{aligned} \rho_{n+1}(y) &= \int_0^y \rho_n(x)\rho_1(y-x)\,dx = \int_0^y \left(e^{-\lambda x}\frac{\lambda^n x^{n-1}}{(n-1)!}\right)(\lambda e^{-\lambda(y-x)})\,dx\\ &= \frac{\lambda^{n+1}e^{-\lambda y}}{(n-1)!}\int_0^y x^{n-1}\,dx = e^{-\lambda y}\frac{\lambda^{n+1}y^n}{n!}. \end{aligned} \]
  2. Заметим, что \(\rho_{n+1}'=-\lambda(\rho_{n+1}-\rho_n)\). Поэтому \[ \begin{aligned} \mathbb{P}(N_t=n) &= \mathbb{P}(N_t<n+1)-\mathbb{P}(N_t<n) = \mathbb{P}(Y_{n+1}>t)-\mathbb{P}(Y_n>t)\\ &= \int_t^\infty (\rho_{n+1}(y)-\rho_n(y))\,dy = -\int_t^\infty \frac{d}{dy}\left(\frac{1}{\lambda}\rho_{n+1}(y)\right)dy = \frac{1}{\lambda}\rho_{n+1}(t), \end{aligned} \] что и требовалось доказать.

Задача 8$

Точка \((x,y)\) выбирается из квадрата \([0,1]\times[0,1]\) согласно равномерному распределению. Найдите распределение случайной величины

  1. \(x^2\).
  2. \(x/(x+y)\).
  3. \(x^2+y^2\).
  4. \(\min(x,y)\).
  5. \(\max(x,y)\).

  1. Положим \(\xi:=x^2\). Тогда \(F_\xi(z)=\mathbb{P}(x^2\le z)=\sqrt{z}\) и \(f_\xi(z)=1/(2\sqrt{z})\).

  2. Положим \(\xi=x/(x+y)\). \(\xi\) имеет то же распределение, что и \(1-\xi=y/(x+y)\). Поэтому плотность удовлетворяет \(f_\xi(z)=f_\xi(1-z)\). Рассмотрим \(z\le 1/2\) и заметим, что \[ \mathbb{P}(\xi\le z)=\mathbb{P}(x\le zy/(1-z))=z/(2(1-z)), \] поскольку это площадь треугольника с высотой \(1\) и основанием \(z/(1-z)\). В частности, плотность равна \(f_\xi(z)=2(1+|2z-1|)^{-2}\) при \(z\in[0,1]\).

  3. Положим \(\xi=x^2+y^2\). Для \(z\in[0,1]\) \[ F_\xi(z)=\mathbb{P}(x^2+y^2\le z)=\text{площадь четверти круга радиуса }\sqrt{z}=\pi z/4. \] Для \(z\in(1,2]\) множество \(\{x^2+y^2\le z\}\) является объединением двух треугольников и кругового сектора. Треугольники имеют высоту \(1\) и основание \(\sqrt{z}\sin(\arccos{z^{-1/2}})\). Круговой сектор охватывает угол \(\pi/2-2\arccos(z^{-1/2})\). Поэтому при \(z\in(1,2]\) \[ F_\xi(z)=\sqrt{z-1}+z(\pi/4-\arccos{z^{-1/2}}). \] В частности, \(f_\xi(z)=\tfrac{\pi}{4}-\arccos(z^{-1/2})\mathbf{1}_{[1,2)}(z)\).

  4. Положим \(\xi=\min(x,y)\). \(F_\xi(z)=1-\mathbb{P}(\min(x,y)>z)=1-(1-z)^2=2z-z^2\) и \(f_\xi(z)=2(1-z)\).

  5. Положим \(\xi=\max(x,y)\). \(F_\xi(z)=z^2\) и \(f_\xi(z)=2z\).

Задача 9$

Пусть случайный вектор \((\alpha,\beta)\) равномерно распределён в области \(\mathcal{G}:=\left\{|x|+|y|<1\right\}\). То есть соответствующая двумерная плотность распределения \[ f_{(\alpha,\beta)}(x,y)= \begin{cases} \mathrm{const} & x,y\in\mathcal{G}\\ 0 & x,y\not\in\mathcal{G} \end{cases} \]

  1. Чему равна константа в формуле?
  2. Найти плотности \(f_\alpha(x)\), \(f_\beta(y)\) распределения первой \(\alpha\) и второй \(\beta\) координат вектора.
  3. Зависимы ли \(\alpha\) и \(\beta\)?
  4. Найти плотности распределения для \(\alpha+\beta\) и для \(\alpha-\beta\).

  1. Константа равна \(1/|\mathcal{G}|=1/2\).

  2. Плотность \(\alpha\) получается как образ равномерной меры на \(\mathcal{G}\) при проекции на отрезок \([-1,1]\). Графическая визуализация сразу показывает \(f_\alpha(x)=f_\beta(x)=(1-|x|)\mathbf{1}_{[-1,1]}\). Можно также вычислить напрямую \(f_\alpha(x)=\int f_{\alpha,\beta}(x,y)\,dy\).

  3. Они зависимы, например, для \(x\ge 1/2\) имеем \(\mathbb{P}(\alpha>x,\beta>x)=0\), в то время как \(\mathbb{P}(\alpha>x)=\mathbb{P}(\beta>x)>0\). Вообще, если \((\alpha,\beta)\) распределены как в условии, они независимы тогда и только тогда, когда \(\mathcal{G}=\mathcal{G}_1\times\mathcal{G}_2\) (с точностью до множества меры нуль) и \(\alpha\), \(\beta\) равномерны на \(\mathcal{G}_1\), \(\mathcal{G}_2\) соответственно.

  4. Пусть \(U=\alpha+\beta\), \(V=\alpha-\beta\). Это преобразование вращения и масштабирования. Область \(|x|+|y|<1\) переходит в область \(\mathcal{G}'=\{|u|<1,|v|<1\}\). Якобиан преобразования из \((u,v)\) в \((x,y)\) равен \(1/2\), и поэтому \((U,V)\) равномерно распределена на \(\mathcal{G}'\). В частности, они независимы и одинаково распределены равномерно на \([-1,1]\).

Задача 10$

Пусть случайный вектор \((\alpha,\beta)\) равномерно распределён в верхнем полукруге \(\mathcal{G}=\left\{x^2+y^2<1, y>0\right\}\). То есть соответствующая двумерная плотность распределения \[ f_{(\alpha,\beta)}(x,y)= \begin{cases} \mathrm{const} & x,y\in\mathcal{G}\\ 0 & x,y\not\in\mathcal{G} \end{cases} \]

  1. Чему равна константа в формуле?
  2. Найти плотность \(f_\alpha(x)\) — первой \(\alpha\) координаты вектора.
  3. Найти плотность распределения для \(\rho=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\). Нарисовать график \(f_\rho(t)\).
  4. Найти плотность распределения для \(\phi=\arccos(\alpha/\sqrt{\alpha^2+\beta^2})\). Нарисовать график \(f_\phi(t)\).
  5. Зависимы ли \(\rho\) и \(\phi\)?
  6. Найти плотность распределения для \(\xi=\alpha/\beta\). Нарисовать график \(f_\xi(t)\).
  7. Найти плотность распределения для \(\eta=\alpha^2/\beta^2\). Нарисовать график \(f_\eta(t)\).
  8. Найти плотность распределения для \(\theta=\alpha^2+\beta^2\). Нарисовать график \(f_\theta(t)\).
  1. Константа равна \(1/|\mathcal{G}|=2/\pi\).
  2. Плотность \(\alpha\) получается как образ равномерной меры на \(\mathcal{G}\) при проекции на отрезок \([-1,1]\). Графическая визуализация сразу показывает \(f_\alpha(x)=\frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^2}\mathbf{1}_{[-1,1]}\). Можно также вычислить напрямую \(f_\alpha(x)=\int f_{\alpha,\beta}(x,y)\,dy\).
  3. \(\rho\) — полярный радиус. \(F_\rho(r)=\mathbb{P}(\rho\le r)=(\pi r^2/2)/(\pi/2)=r^2\) при \(r\in[0,1]\). Поэтому \(f_\rho(r)=2r\mathbf{1}_{[0,1)}\).
  4. \(\phi\) — полярный угол. Он равномерно распределён на \([0,\pi]\).
  5. В полярных координатах совместная плотность равна \(f(r,\phi)=(2/\pi)\cdot r\). Поэтому \(\rho\) и \(\phi\) независимы.
  6. \(\xi=\alpha/\beta=\cot(\phi)\). \(F_\xi(x)=\mathbb{P}(\cot\phi\le x)=\mathbb{P}(\phi\ge\operatorname{arccot}(x))=\frac{\pi-\operatorname{arccot}(x)}{\pi}\). \(f_\xi(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}\) (известно как распределение Коши).
  7. \(\eta=\xi^2\). \(F_\eta(y)=\mathbb{P}(\xi^2\le y)=F_\xi(\sqrt{y})-F_\xi(-\sqrt{y}^-)\). \(f_\eta(y)=\frac{1}{\pi\sqrt{y}(1+y)}\mathbf{1}_{[0,\infty)}(y)\).
  8. \(\theta=\rho^2\). \(F_\theta(t)=\mathbb{P}(\rho^2\le t)=(\sqrt{t})^2=t\) при \(t\in[0,1]\) (равномерное распределение).