Семинар 7
Во всех задачах, где требуется оценить вероятность, нужно оценить и точность приближения.
Задача 1
В институте обучается \(1000\) студентов. В столовой имеется \(105\) посадочных мест. Каждый студент отправляется в столовую на большой перемене с вероятностью \(0.1\). Оцените вероятность того, что в обычный учебный день:
- столовая будет заполнена не более чем на две трети;
- посадочных мест на всех не хватит.
Задача 2
В среднем число инфицированных вирусом гриппа при эпидемии составляет 25%, то есть в организации из 600 человек можно предполагать в среднем 150 инфицированных. Указать значение \(a\) такое, что с вероятностью 0.9 число инфицированных в этой организации будет от 150-\(a\) до 150+\(a\). Полученный интервал называется доверительным интервалом.
Задача 3 [H]
В среднем число инфицированных вирусом гриппа при эпидемии составляет 20%, но в конкретном случае опросив \(N\) жителей можно узнать относительную частоту заражений. Какое наименьшее число \(N\) людей следует опросить, чтобы с вероятностью \(0.95\) утверждать, что зафиксированная частота заражений, отличается от предполагаемой величины \(0.2\) менее, чем на \(0.05\)? Как можно объяснить ситуацию, если наблюденная при таком \(N\) частота окажется, например, равной \(0.1\)?
Задача 4
В производстве однотипных деталей брак возникает с вероятностью \(p=10^{-4}\), оценить вероятность, что в партии из 500 деталей более одной бракованной.
Задача 5
В производстве однотипных деталей на китайском заводе однотипных деталей брак возникает с вероятностью \(p=3\cdot10^{-4}\), в производстве тех же деталей на индийском заводе брак возникает с вероятностью \(p=2\cdot10^{-4}\). Поставку из Китая в 100 деталей объединили с поставкой из Индии в 200 деталей, оценить вероятность, что в возникшей поставке из 300 деталей нет ни одной бракованной.
Задача 6
В колл-центр звонят в среднем раз в пять минут, оценить вероятность того, что за 10 минут позвонят ровно три раза.
Задача 7
Пусть \(\xi_1,\xi_2, \ldots\) — последовательность случайных величин, для которой выполняется ЗБЧ: \[ S_n:=\sum_{i=1}^n\xi_i, \qquad \lim_n\mathbb{P}\Big(\left| \frac{S_n - \mathbb{E} S_n}{n} \right|\ge \varepsilon\Big) = 0 \qquad \forall \varepsilon>0. \] Верно ли, что ЗБЧ обязан выполняться и для последовательности \(|\xi_1|, |\xi_2|, \ldots|\)?
Задача 8* [Теорема Бернштейна]
Пусть случайные величины \(\xi_1,\xi_2,\dots\) имеют равномерно ограниченные дисперсии, причем \(\operatorname{Cov}(\xi_i,\xi_j)\to 0\) равномерно при \(|i-j|\to \infty\). Докажите, что эта последовательность удовлетворяет ЗБЧ.
Задача 9
Покажите, что в законе больших чисел нельзя выкинуть условие независимости.
Задача 10
Покажите, что в центральной предельной теореме нельзя выкинуть условие независимости.