Неравенства Белла и границы применимости вероятностных моделей

Интереснейшими примерами попыток использования традиционной колмогоровской вероятностной модели в микромире служат толкования опыта Штерна-Герлаха по отклонению пучка частиц в магнитном поле и опыта Алана Аспекта по интерференции состояний фотонов (опыта, изначально предложенного еще в 30-х годах в статье Эйнштейна-Подольского-Розена). В 1964 году появился сравнительно несложный результат в теории вероятностей, который показал несовместность традиционных вероятностных моделей и количественных измерений в этих опытах. Этот результат называется неравенствами Белла для случайных величин, подробное объяснение связи неравенств с физическими измерениями можно найти в учебнике Александра Львовского ‘’Отличная квантовая механика’’ 2019 года. Ниже изложено доказательство (принадлежащее Аккарди) неравенств Белла для случайных величин.

Примечание. Оригинальное доказательство Белла и почти все опубликованные позже доказательства неравенства Белла используют лишь случайные величины, принимающие только два значения +1 и -1.

Арифметические неравенства

Лемма 1 Для любых двух чисел a, c \in [-1, 1] справедливы следующие два (вариант для знаков + и -) неравенства: |a \pm c| \leqslant 1 \pm ac \tag{1} Более того, равенство в выражении Уравнение 1 выполняется тогда и только тогда, когда либо a = \pm 1, либо c = \pm 1.

Доказательство (Лемма 1). Два варианта неравенств Уравнение 1 следуют из того, что одно получается из другого заменой знака c, поскольку c выбрано произвольно в [-1, 1]. Так как для любых a, c \in [-1, 1], то 1 \pm ac \geqslant 0, то Уравнение 1 эквивалентно |a \pm c|^2 = a^2 + c^2 \pm 2ac \leqslant (1 \pm ac)^2 = 1 + a^2 c^2 \pm 2ac, а это эквивалентно неравенству a^2 (1 - c^2 ) + c^2 \leqslant 1, которое тождественно выполняется, поскольку 1 - c^2 \geqslant 0, и, следовательно, a^2 (1 - c^2 ) + c^2 \leqslant 1 - c^2 + c^2 = 1 \tag{2} Обратите внимание, что в выражении Уравнение 2 равенство выполняется тогда и только тогда, когда a = \pm 1 или c = \pm 1. Поскольку при замене a и c в выражении Уравнение 1 неравенство остаётся неизменным, тезис следует.

Следствие 1 Для любых трёх чисел a, b, c \in [-1, 1] справедливы следующие эквивалентные (для вариантов знака + и -) неравенства: \lvert ab \pm cb \rvert \leqslant 1 \pm ac \tag{3} и равенство выполняется тогда и только тогда, когда b = \pm 1 и либо a = \pm 1, либо c = \pm 1.

Доказательство (Следствие 1). Для b \in [-1, 1], \lvert ab \pm cb \rvert = \lvert b \rvert \cdot \lvert a \pm c \rvert \leqslant \lvert a \pm c \rvert Таким образом, утверждение следует из Лемма 1, а первое равенство выполняется тогда и только тогда, когда b = \pm 1, поэтому второе утверждение также следует из Лемма 1.

Лемма 2 Для любых чисел a,\widetilde{a}, b, \widetilde{b}, c \in [-1, 1], имеем \lvert ab - cb \rvert + \lvert a\widetilde{b} + c\widetilde{b} \rvert \leqslant 2 \tag{4} ab + a\widetilde{b} +\widetilde{a} \widetilde{b} -\widetilde{a} b \leqslant 2 \tag{5}

Первая формула верна тогда и только тогда, когда b, \widetilde{b}, a, c = \pm 1.

Доказательство (Лемма 2). Из неравенства Уравнение 3 \lvert ab - cb \rvert\leqslant 1 - ac \tag{6} \lvert a\widetilde{b} + c\widetilde{b} \rvert \leqslant 1 + ac \tag{7} Складывая их, получаем выражение Уравнение 4. Левая часть выражения Уравнение 5 меньше или равна \lvert ab - b\widetilde{a} \rvert + \lvert a\widetilde{b} + \widetilde{b} \widetilde{a} \rvert и заменой \widetilde{a} на c, выражение Уравнение 7 становится левой частью выражения Уравнение 4. Если b, \widetilde{b} = \pm 1 и a = \pm 1, то равенство выполняется в выражении Уравнение 6, а следовательно, и в выражении Уравнение 7. Наоборот, предположим, что равенство выполняется в выражении Уравнение 4, и предположим, что либо \lvert b \rvert < 1, либо \lvert \widetilde{b} \rvert < 1. Тогда приходим к противоречию. 2 = \lvert b \rvert \cdot \lvert a - c \rvert + \lvert \widetilde{b} \rvert \cdot \lvert a + c \rvert < \lvert a - c \rvert + \lvert a + c \rvert \leqslant (1 - ac) + (1 + ac) = 2 Итак, если в выражении Уравнение 4 выполняется равенство, то должно быть \lvert b \rvert = \lvert \widetilde{b} \rvert = 1. В этом случае выражение Уравнение 4 принимает вид \lvert a - c \rvert + \lvert a + c \rvert = 2 и, если либо \lvert a \rvert < 1, либо \lvert c \rvert < 1, то из Лемма 1 следует, что \lvert a - c \rvert + \lvert a + c \rvert < (1 - ac) + (1 + ac ) = 2 поэтому также должно быть a,c = \pm 1.

Следствие 2 Если a,\widetilde{a}, b, \widetilde{b}, c \in \{-1, 1\}, то неравенства выражения Уравнение 3 и выражения Уравнение 4 эквивалентны, во всех них выполняется равенство. Однако неравенство в выражении Уравнение 5 может быть строгим.

Доказательство (Следствие 2). Мы знаем, что неравенства в выражениях Уравнение 1 и Уравнение 2 эквивалентны, также из выражения Уравнение 1 следует Уравнение 4. Выбрав \widetilde{b} = a в выражении Уравнение 4, поскольку a = \pm 1, выражение Уравнение 4 примет вид \lvert ab - cb \rvert \leqslant 1 - ac, что эквивалентно a(b + \widetilde{b} ) +\widetilde{a} (\widetilde{b} - b) \leqslant 2.

В наших предположениях либо (b + \widetilde{b} ), либо (\widetilde{b} - b) равно нулю, поэтому неравенство a(b + \widetilde{b} ) +\widetilde{a} (\widetilde{b} - b) \leqslant 2 (см. Уравнение 5) эквивалентно либо a(b + \widetilde{b} ) \leqslant 2 либо \widetilde{a}(\widetilde{b} - b) \leqslant 2 и в обоих случаях мы можем выбрать a, b, \widetilde{b} или \widetilde{a} , b, \widetilde{b} так, чтобы произведение было отрицательным, а неравенство — строгим.

Неравенства Белла для случайных величин

Теорема 1 (Теорема Белла) Пусть \left(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4\right) — случайный вектор с компонентами по модулю не превосходящими 1. Тогда справедливы три неравенства \begin{aligned} & \mathbb{E}\Big[\lvert\xi_1\xi_2 - \xi_2\xi_3\rvert\Big]\leqslant 1 - \mathbb{E}[\xi_1\xi_3] \\ & \mathbb{E}\Big[\lvert\xi_1\xi_2 + \xi_2\xi_3\rvert\Big] \leqslant 1 + \mathbb{E}[\xi_1\xi_3] \\ & \mathbb{E}\Big[\lvert\xi_1\xi_2 - \xi_2\xi_3\rvert\Big]+\mathbb{E}\Big[\lvert\xi_1\xi_4 + \xi_3\xi_4\rvert\Big]\leqslant 2, \end{aligned} причём первое и второе неравенства эквивалентны. Если же \xi_1 или \xi_3 дискретные со значениями \pm 1, то все три неравенства эквивалентны.

Доказательство (Теорема 1). На вероятностном пространстве \Omega случайного вектора используем полученные выше арифметические неравенства поточечно вместе с \lvert E(\alpha)\rvert\leqslant E\big(\lvert\alpha\rvert\big).