Неравенства Белла и границы применимости вероятностных моделей
Интереснейшими примерами попыток использования традиционной колмогоровской вероятностной модели в микромире служат толкования опыта Штерна-Герлаха по отклонению пучка частиц в магнитном поле и опыта Алана Аспекта по интерференции состояний фотонов (опыта, изначально предложенного еще в 30-х годах в статье Эйнштейна-Подольского-Розена). В 1964 году появился сравнительно несложный результат в теории вероятностей, который показал несовместность традиционных вероятностных моделей и количественных измерений в этих опытах. Этот результат называется неравенствами Белла для случайных величин, подробное объяснение связи неравенств с физическими измерениями можно найти в учебнике Александра Львовского ‘’Отличная квантовая механика’’ 2019 года. Ниже изложено доказательство (принадлежащее Аккарди) неравенств Белла для случайных величин.
Примечание. Оригинальное доказательство Белла и почти все опубликованные позже доказательства неравенства Белла используют лишь случайные величины, принимающие только два значения \(+1\) и \(-1\).
Арифметические неравенства
Лемма 1 Для любых двух чисел \(a, c \in [-1, 1]\) справедливы следующие два (вариант для знаков \(+\) и \(-\)) неравенства: \[ |a \pm c| \leqslant 1 \pm ac \tag{1}\] Более того, равенство в выражении Уравнение 1 выполняется тогда и только тогда, когда либо \(a = \pm 1\), либо \(c = \pm 1\).
Доказательство (Лемма 1). Два варианта неравенств Уравнение 1 следуют из того, что одно получается из другого заменой знака \(c\), поскольку \(c\) выбрано произвольно в \([-1, 1]\). Так как для любых \(a, c \in [-1, 1]\), то \(1 \pm ac \geqslant 0\), то Уравнение 1 эквивалентно \(|a \pm c|^2 = a^2 + c^2 \pm 2ac \leqslant (1 \pm ac)^2 = 1 + a^2 c^2 \pm 2ac\), а это эквивалентно неравенству \(a^2 (1 - c^2 ) + c^2 \leqslant 1\), которое тождественно выполняется, поскольку \(1 - c^2 \geqslant 0\), и, следовательно, \[ a^2 (1 - c^2 ) + c^2 \leqslant 1 - c^2 + c^2 = 1 \tag{2}\] Обратите внимание, что в выражении Уравнение 2 равенство выполняется тогда и только тогда, когда \(a = \pm 1\) или \(c = \pm 1\). Поскольку при замене \(a\) и \(c\) в выражении Уравнение 1 неравенство остаётся неизменным, тезис следует.
Следствие 1 Для любых трёх чисел \(a, b, c \in [-1, 1]\) справедливы следующие эквивалентные (для вариантов знака \(+\) и \(-\)) неравенства: \[ \lvert ab \pm cb \rvert \leqslant 1 \pm ac \tag{3}\] и равенство выполняется тогда и только тогда, когда \(b = \pm 1\) и либо \(a = \pm 1\), либо \(c = \pm 1\).
Доказательство (Следствие 1). Для \(b \in [-1, 1]\), \[ \lvert ab \pm cb \rvert = \lvert b \rvert \cdot \lvert a \pm c \rvert \leqslant \lvert a \pm c \rvert \] Таким образом, утверждение следует из Лемма 1, а первое равенство выполняется тогда и только тогда, когда \(b = \pm 1\), поэтому второе утверждение также следует из Лемма 1.
Лемма 2 Для любых чисел \(a,\widetilde{a}, b, \widetilde{b}, c \in [-1, 1]\), имеем \[ \lvert ab - cb \rvert + \lvert a\widetilde{b} + c\widetilde{b} \rvert \leqslant 2 \tag{4}\] \[ ab + a\widetilde{b} +\widetilde{a} \widetilde{b} -\widetilde{a} b \leqslant 2 \tag{5}\]
Первая формула верна тогда и только тогда, когда \(b, \widetilde{b}, a, c = \pm 1\).
Доказательство (Лемма 2). Из неравенства Уравнение 3 \[ \lvert ab - cb \rvert\leqslant 1 - ac \tag{6}\] \[ \lvert a\widetilde{b} + c\widetilde{b} \rvert \leqslant 1 + ac \tag{7}\] Складывая их, получаем выражение Уравнение 4. Левая часть выражения Уравнение 5 меньше или равна \[ \lvert ab - b\widetilde{a} \rvert + \lvert a\widetilde{b} + \widetilde{b} \widetilde{a} \rvert \] и заменой \(\widetilde{a}\) на \(c\), выражение Уравнение 7 становится левой частью выражения Уравнение 4. Если \(b, \widetilde{b} = \pm 1\) и \(a = \pm 1\), то равенство выполняется в выражении Уравнение 6, а следовательно, и в выражении Уравнение 7. Наоборот, предположим, что равенство выполняется в выражении Уравнение 4, и предположим, что либо \(\lvert b \rvert < 1\), либо \(\lvert \widetilde{b} \rvert < 1\). Тогда приходим к противоречию. \[ 2 = \lvert b \rvert \cdot \lvert a - c \rvert + \lvert \widetilde{b} \rvert \cdot \lvert a + c \rvert < \lvert a - c \rvert + \lvert a + c \rvert \leqslant (1 - ac) + (1 + ac) = 2 \] Итак, если в выражении Уравнение 4 выполняется равенство, то должно быть \(\lvert b \rvert = \lvert \widetilde{b} \rvert = 1\). В этом случае выражение Уравнение 4 принимает вид \[ \lvert a - c \rvert + \lvert a + c \rvert = 2 \] и, если либо \(\lvert a \rvert < 1\), либо \(\lvert c \rvert < 1\), то из Лемма 1 следует, что \(\lvert a - c \rvert + \lvert a + c \rvert < (1 - ac) + (1 + ac ) = 2\) поэтому также должно быть \(a,c = \pm 1\).
Следствие 2 Если \(a,\widetilde{a}, b, \widetilde{b}, c \in \{-1, 1\}\), то неравенства выражения Уравнение 3 и выражения Уравнение 4 эквивалентны, во всех них выполняется равенство. Однако неравенство в выражении Уравнение 5 может быть строгим.
Доказательство (Следствие 2). Мы знаем, что неравенства в выражениях Уравнение 1 и Уравнение 2 эквивалентны, также из выражения Уравнение 1 следует Уравнение 4. Выбрав \(\widetilde{b} = a\) в выражении Уравнение 4, поскольку \(a = \pm 1\), выражение Уравнение 4 примет вид \(\lvert ab - cb \rvert \leqslant 1 - ac\), что эквивалентно \(a(b + \widetilde{b} ) +\widetilde{a} (\widetilde{b} - b) \leqslant 2\).
В наших предположениях либо \((b + \widetilde{b} )\), либо \((\widetilde{b} - b)\) равно нулю, поэтому неравенство \(a(b + \widetilde{b} ) +\widetilde{a} (\widetilde{b} - b) \leqslant 2\) (см. Уравнение 5) эквивалентно либо \(a(b + \widetilde{b} ) \leqslant 2\) либо \(\widetilde{a}(\widetilde{b} - b) \leqslant 2\) и в обоих случаях мы можем выбрать \(a, b, \widetilde{b}\) или \(\widetilde{a} , b, \widetilde{b}\) так, чтобы произведение было отрицательным, а неравенство — строгим.
Неравенства Белла для случайных величин
Теорема 1 (Теорема Белла) Пусть \(\left(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4\right)\) — случайный вектор с компонентами по модулю не превосходящими \(1\). Тогда справедливы три неравенства \[ \begin{aligned} & \mathbb{E}\Big[\lvert\xi_1\xi_2 - \xi_2\xi_3\rvert\Big]\leqslant 1 - \mathbb{E}[\xi_1\xi_3] \\ & \mathbb{E}\Big[\lvert\xi_1\xi_2 + \xi_2\xi_3\rvert\Big] \leqslant 1 + \mathbb{E}[\xi_1\xi_3] \\ & \mathbb{E}\Big[\lvert\xi_1\xi_2 - \xi_2\xi_3\rvert\Big]+\mathbb{E}\Big[\lvert\xi_1\xi_4 + \xi_3\xi_4\rvert\Big]\leqslant 2, \end{aligned} \] причём первое и второе неравенства эквивалентны. Если же \(\xi_1\) или \(\xi_3\) дискретные со значениями \(\pm 1\), то все три неравенства эквивалентны.
Доказательство (Теорема 1). На вероятностном пространстве \(\Omega\) случайного вектора используем полученные выше арифметические неравенства поточечно вместе с \(\lvert E(\alpha)\rvert\leqslant E\big(\lvert\alpha\rvert\big)\).